耶鲁大学 博弈论(Game Theory) 笔记4-足球比赛与商业合作之最佳对策
文章目录
点球博弈结论
最佳对策定义参与者针对对手策略的定义广义定义
合伙人博弈外部性
点球博弈
其中
U
1
(
4
,
−
4
)
U_1(4,-4)
U1(4,−4)=4，即为我选择左路射门而对手选择左路防守时进球概率为40%。 由图可见，选择M永远不是一个最佳对策(BR)
结论
不要选择在任何条件下都非最佳对策的策略。
最佳对策定义
参与者针对对手策略的定义
如果对
S
i
S_i
Si的所有
s
‘
i
s‘_i
s‘i有
U
i
(
s
^
i
,
s
−
i
)
≥
U
i
(
s
i
′
,
s
−
i
)
U_i(\hat{s}_i,s_{-i})\geq U_i(s'_i,s_{-i})
Ui(s^i,s−i)≥Ui(si′,s−i)
则参与者
i
i
i的策略
s
^
i
\hat{s}_i
s^i是对其他参与者策略
s
−
i
s_{-i}
s−i的BR。 或者表示为如下形式，即最大化对手选择策略
s
−
1
s_{-1}
s−1时我方的收益。
s
^
i
s
o
l
v
e
s
s
i
m
a
x
U
i
(
s
i
,
s
−
1
)
\hat{s}_i\quad solves_{s_i}^{max}U_i(s_i,s_{-1})
s^isolvessimaxUi(si,s−1)
广义定义
扩展为广义定义后，参与者
i
i
i的策略
s
^
i
\hat{s}_i
s^i是对其他参与者策略选择持信念P的BR。在参与者持信念 P 的情况下选
s
^
i
\hat{s}_i
s^i获得的预期收益比在同样的信念p 下选其它策略，获得的预期收益都要高，对于可选的
s
i
′
s'_i
si′均成立。
E
U
i
(
s
^
i
,
P
)
≥
E
U
(
s
i
,
P
)
EU_i(\hat{s}_i,P)\geq EU(s_i,P)
EUi(s^i,P)≥EU(si,P) 或表达为如下形式
s
^
i
s
o
l
v
e
s
s
i
m
a
x
E
U
i
(
s
i
′
,
s
−
1
)
\hat{s}_i\quad solves_{s_i}^{max}EU_i(s'_i,s_{-1})
s^isolvessimaxEUi(si′,s−1) 预期收益=我的收益1x对面选择1的概率+我的收益2x对面选择2的概率。
预期收益，此案例中，在参与人 i 持有信念P的情况下，他选择左路攻门的预期收益等于，门将扑向左路的概率乘以两人都选择左路下参与人 i 的收益，再加上门将扑向右路的概率乘以门将扑向右路参与人 i 左路进攻时，参与人 i 的收益，即
E
U
(
L
,
P
)
=
P
(
l
)
×
U
1
(
L
,
l
)
+
P
(
r
)
×
U
1
(
L
,
r
)
EU(L,P)=P(l)\times U_1(L,l)+P(r)\times U_1(L,r)
EU(L,P)=P(l)×U1(L,l)+P(r)×U1(L,r)
合伙人博弈
1.两个参与人都是公司股东，各持有公司 50%的股份，供应合伙关系；
2.每个股东要选择对公司投入精力，以“小时”表示，策略集合 Si=[0,4]，这是一个连续区间，不是同于选数游戏中的只能选整数。
3.利润计算方式如下
4
×
[
s
1
+
s
2
+
b
∗
s
1
∗
s
2
]
0
≤
b
≤
1
4
4\times[s_1+s_2+b*s_1*s_2] \quad 0\leq b \leq \frac{1}{4}
4×[s1+s2+b∗s1∗s2]0≤b≤41
其中b为协同或互补部分。
由此我们可以进行收益计算：
U
1
(
s
1
,
s
2
)
=
1
2
[
4
×
[
s
1
+
s
2
+
b
∗
s
1
∗
s
2
]
]
−
s
1
2
U
2
(
s
1
,
s
2
)
=
1
2
[
4
×
[
s
1
+
s
2
+
b
∗
s
1
∗
s
2
]
]
−
s
2
2
U_1(s_1,s_2)=\frac{1}{2}[4\times[s_1+s_2+b*s_1*s_2]]-s_1^2\\ U_2(s_1,s_2)=\frac{1}{2}[4\times[s_1+s_2+b*s_1*s_2]]-s_2^2
U1(s1,s2)=21[4×[s1+s2+b∗s1∗s2]]−s12U2(s1,s2)=21[4×[s1+s2+b∗s1∗s2]]−s22 其中
1
2
\frac{1}{2}
21为股份占比，
s
1
2
s_1^2
s12为自身投入。
若要计算选
s
1
s_1
s1时的最大收益(
s
2
s_2
s2为已知数)：
M
A
X
s
1
2
(
s
1
+
s
2
+
b
∗
s
1
∗
s
2
)
−
s
1
2
MAX_{s_1}\quad2(s_1+s_2+b*s_1*s_2)-s_1^2
MAXs12(s1+s2+b∗s1∗s2)−s12 进行求导
2
(
1
+
b
∗
s
2
)
−
2
s
1
^
=
0
s
1
^
=
1
+
b
∗
s
2
=
B
R
(
s
2
)
同
理
s
2
^
=
1
+
b
∗
s
1
=
B
R
(
s
1
)
2(1+b*s_2)-2\hat{s_1}=0\\ \hat{s_1}=1+b*s_2=BR(s_2)\\ 同理\\ \hat{s_2}=1+b*s_1=BR(s_1)
2(1+b∗s2)−2s1^=0s1^=1+b∗s2=BR(s2)同理s2^=1+b∗s1=BR(s1) 此时令导数得零取得最值，再求二阶导判断最大最小，小于零，取得是最大值。
0
−
2
≤
0
0-2\leq0
0−2≤0
由
B
R
(
s
1
)
BR(s_1)
BR(s1)和
B
R
(
s
2
)
BR(s_2)
BR(s2)可得：
B
R
1
(
s
2
)
=
1
+
(
1
4
)
s
2
BR_1(s_2)=1+(\frac{1}{4})s_2
BR1(s2)=1+(41)s2
将BR用图表示，红色代表参与者1在不同
s
2
s_2
s2下的BR，蓝色为参与者2在不同
s
1
s_1
s1下的BR。 因为永远不要选择劣势策略，因此参与人1的
(
0
,
1
)
∪
(
2
,
4
)
(0,1)\cup(2,4)
(0,1)∪(2,4)策略被剔除。 同理，参与人2的
(
0
,
1
)
∪
(
2
,
4
)
(0,1)\cup(2,4)
(0,1)∪(2,4)策略被剔除，只剩下中间的区域。 将中间区域放大，图像除了点坐标不同外和初始图像完全一样，再次剔除非BR，迭代剔除最终将归为一点。
{
s
1
∗
=
1
+
b
s
2
∗
s
2
∗
=
1
+
b
s
1
∗
→
s
1
∗
=
s
2
∗
=
1
1
−
b
\left\{ \begin{aligned} s_1^*=1+bs_2^* \\ s_2^*=1+bs_1^* \\ \end{aligned} \right. \rightarrow s_1^*=s_2^*=\frac{1}{1-b}
{s1∗=1+bs2∗s2∗=1+bs1∗→s1∗=s2∗=1−b1
外部性
当我计算要为公司付出多少时，没有考虑到利润的一半会归别人所有。
如果减小协同系数b,那么两条线会越来越皆接近于平行和垂直，最终的点会越来越接近于(1,1)。
上图中的交点即是著名的纳什均衡点，在此处双方都采用了自己的最优反应。